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CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION S - Juin 2004

Exercice 1 Exercice 2 Exerice 2 (Spé) Exercice 3 Exericice 4 Exercice 5

 

1. pour tout MATHet pour tout $x\in \U{2115} $, on a :

 

MATH

 

2.a) MATH

 

En appliquant la formule de la question 1 avec $x=a^{d}$ on a :

 

MATH

 

Donc $a^{d}-1$ est un diviseur de $a^{n}-1$

 

b) On remarque que $63=2^{6}-1$ et que $2004=6\times 334$

 

Donc d'après la propriété précédente appliquée avec $a=2$ , $n=2004$ , $d=6$ et $k=337$ on a :

 

$2^{2004}-1$ est divisible par $2^{6}-1$

 

Donc $2^{2004}-1$ est divisible par $63$

 

Or comme $2^{2004}-1$ est divisible par $63$ il est divible par tout diviseur de $63$ c'est à dire par $7$ et $9$

 

3.a) Si $d=p\gcd (m,n)$ alors $m=d.m^{\prime }$ et $n=d.n^{\prime }$ avec MATH

 

$m^{\prime }$ et $n^{\prime }$ étant premiers entre eux le théorème de Bézout dit qu'il existe un couple d'entier naturels MATH tels que :

 

MATH

 

Soit en multipliant par $d$ : MATH

 

En posant alors $u=u^{\prime }$ et $v=v^{\prime }$ on a : $m.u-n.v=d$

 

b) On a MATH

 

Or $m.u=d+n.v$ d'après la question précedente , donc : MATH

 

Donc MATH

 

Comme $d$ divise $m$ , $d$ divise aussi $m.u$ . Donc d'après la question 2.a) :

 

$a^{d}-1$ divise $a^{mu}-1$

 

Comme $d$ divise $n$ , $d$ divise aussi $n.v$ . Donc d'après la question 2.a) :

 

$a^{d}-1$ divise $a^{nv}-1$

 

Donc $a^{d}-1$ est un diviseur commun de $a^{mu}-1$ et $a^{nv}-1$

 

Soit $c$ un diviseur commun de $a^{mu}-1$ et $a^{nv}-1$ , $c$ divise aussi toute combinaison linéaire de $a^{mu}-1$ et $a^{nv}-1$

 

Donc $c$ divise MATH

 

Donc d'après le calcul précédent : $c$ divise $a^{d}-1$

 

Tout diviseur commun de $a^{mu}-1$ et $a^{nv}-1$ divise $a^{d}-1$

 

Donc MATH

 

c) Choisissons les entiers $m,n,u$ et $v$ tels que $m.u=63$ et $n.v=60$

 

Le choix $m=3,u=31,n=3$ et $v=20$ convient .

 

On a alors $d=p\gcd (m,n)=3$

 

Donc d'après la question 3.b) on a : MATH