1)a)
limite de f en
-
:
Or
Donc
D'où
limite
de f en
+
Par
croissance comparée,
Donc
La
droite des abssices est donc asymptote à f en
+
b)
f est le produit de 2 fonctions dérivables sur
donc elle est dérivable sur
et
c)
est du signe de
qui est un polynome du second degrée. Son signe est donc celui de a ici
-1 ie négatif à l'extérieur des racines 0 et 2.
D'où le tableau de variation de f :
____________________________________________
x -
02 +
____________________________________________
_+_
____________________________________________
+
0
Graphe de f :
2)a)
On fait une intégration par partie :
On pose :
;
D'où :
b)
On fait une IPP:
On pose :
;
Pour
calculer
on
utilise la relation calculée à la question précédente pour
n=1 :
c)
Donc
représente l'aire délimitée par la courbe représentative
de f, les droites d'équations x=0 et x=1 et l'axe des abcisses.
3)a)
car la fonction exponentielle est une fonction croissante
car
x
b) On passe à l'intégrale dans la relation précédente :
Or
et
Donc en passant à la limite dans l'inégalité précédente et d'aprés le théorème des gendarmes, on obtient :
