CORRIGE de Mathématiques-Informatique
France Métropolitaine - Section S - Juin 2006
Partie A :
1)a)
b) Faire le graphique
c) D'après le graphique, on peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers 2.
2)a)
Donc
p est croissante sur
![$[0~;~2,5]$](graphics/JGJ9A17P.png)
,
donc elle est en particulier croissante sur
![$[0~;~2]$](graphics/JGJ9A17R.png)
..
De
plus
et
Donc
si
.=![$[0,8~;~2]$](graphics/JGJ9A181.png)
.
.
b)
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n,
:
.
OK, vérifié
Par
définition de
on a :
Par
hypothèse de récurrence,
Donc
d'après la question précédente,
Donc
CQFD
Conclusion :
Pour
tout entier naturel n, on a
c)
Or
d'après la question précédente,
D'où :
Donc
La
suite
est donc croissante.
d)
La suite
est croissante et majorée par
questions précédentes) : elle est donc convergente.
Partie B :
Soit x
.
Or
Donc
pour tout x
La
fonction g vérifie donc bien la condition
(1
.
De
plus
.
Donc
la fonction g vérifie bien la condition
(2
.
2)a)
e
e
Donc
.
La
droite
d'équation
est donc asymptote horizontale à
au voisinage
+
b) On a vu à la question 1) que :
Donc
g est croissante sur
3) Commençons par déterminer une équation de la tangente à g en x=0 :
Or
et
Donc
.
est l'abscisse du point d'intersection de
d'équation y=2 tangente à g en l'origine dont l'équation est
Donc
4
D'où
4) Tracer la courbe
