CORRIGE MATHEMATIQUES Centres étrangers
SECTION S - JUIN
2005
Partie A :
1)
f et g sont dérivables sur
comme somme de 2 fonctions dérivables et pour tout
,
on a :
car
Donc
f est décroissante sur
.
Donc
g est croissante sur
2)
On a
et f décroissante sur
(d'après 1) donc f est négative sur
soit
De
même on a
et g croissante sur
donc g est positive sur
soit
Finalement
pour tout
on
a :
Partie B :
1)
Montrons par récurrence que pour tout n
u
n=1
:
u
OK
Or
De
plus par hypothèse de récurence, on
Donc
Conclusion :
Donc
pour tout n
u
2)
Montrons par récurence que pour tout
n=1:
u
ln(u
Or
ln(u
Donc la proposition est vrai au rang 1
CQFD
Conclusion :
Pour
tout
3)
D'aprés la question 2 Partie A, on a pour tout
en prenant
x=
En sommant l'inégalité précédente en faisant varier k de 1 à n, on obtient :
4
Sn est la somme de termes de suites géométriques de raison
S
Donc
car
(
De
même
T
est la somme de termes de suite géométrique de raison
T
Donc
car
(
5)a)
Donc
La
suite
est strictement croissante.
b) D'après la question 3 on a :
ln(
Or
est croissante et
donc
Donc
ln(
Donc
la suite
(
est majorée
De
plus on sait d'après la question 5)a) , que la suite
(
est croissante.
Donc
la suite
(
converge.
On appele l sa limite.
c) On a vu précedement que :
On passe à la limite dans l'inégalité précédente.
1-
Or
comme la suite est croissante et à termes strictement positifs, on a l
> 0 .La fonction ln est continue en l donc
d'où :
