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CORRIGE MATHEMATIQUES Centres étrangers
SECTION S - JUIN 2005

Exercice I Exercice II Exercice III Exercice IV

1) Si M appartient à E on a :

MATH ou $z=1\iff $ M=O ou M=B

$z=z^{3}\iff z=0$ ou $z^{2}=1\iff z=0$ ou $z=1$ ou $z=-1\iff $ M=O ou M=Aou M=B

MATH ou $\ z=1\iff $ M=O ou M=B

Donc si M appartien à E, les nombres complexes z, z$^{2}$ et z$^{3}$ sont distincts .

Donc les points M,N,P sont distincts 2 à 2.


2)a) D'après Pythagore, MNP est rectangle en P SSI :

$NP^{2}+MP^{2}$ =MN$^{2}$

Or MATH

MATH

MNMATH

Donc MNP est rectangle en P SSI MATH

SSI MATH car M$\neq O$ et M$\neq B$ (MATH et MATH )


b) MATH

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH


c) L'ensemble Cdes points M cherchés est tel que :

MATH

MATH

MATH

Soit H le point d'affixe -$\dfrac{1}{2}$

Ainsi :MATH

Cela équivaut à HM=$\dfrac{1}{2}$

M appartient donc au cercle de centre H et de rayon $\dfrac{1}{2}$, qui est le cercle diamètre [OA].

Le point O et le point A appartiennent à ce cercle

Or M$\neq O$ et M$\neq A$

Donc l'ensemble des points M cherchés est le cercle de diamètre [OA] privé de O et A.


3)a) Soit M d'affixe z=re$^{i\alpha }$

On cherche l'ensemble des points M tels que l'affixe de P soit un réel strictement positif.ie tel que zMATH

Or z$^{3}=$r$^{3}$e$^{3i\alpha }=$rMATH

zMATH et $\cos (3\alpha )>0$ car r >0

zMATH et $\cos (3\alpha )=1$

zMATH

Or MATH

Donc $3\alpha =0$ ou -2$\pi $ ou 2$\pi $

MATH ou -MATH ou MATH

Rappel : Dire que z=re$^{i\alpha }$avec r >0 signifie que M appartient à la demi droite ouverte d'origine O et de vecteur directeur (cosMATH que l'on note d$_{\alpha }$

Donc l'ensemble des points M tel que l'affixe de P soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi droites du plan d'origine O, et de vecteurs directeurs

respectifs dMATH et d$_{0}$


b) Représentation graphique (a faire soi même)


c) D'après les questions 2 et 3)a) , pour que le triangle MNP soit recatngle en P et que P soit un réel strictement positif, il faut et il suffit que :

$\alpha =0$ ou -$\dfrac{2\pi }{3}$ ou $\dfrac{2\pi }{3}; $ r >0 et que MATH

si MATH ; $z=r$ et MATH ce qui est impossible car r > 0. Il n'y a pas de solutions.

si MATH ; z=reMATH et MATH

d'où MATH

MATH

si MATH , on démontre de même que MATH

Les affixes des points M tel que le triangle MNP soit recatngle en P et que P soit un réel strictement positif sont :

z$_{1}$=$\dfrac{1}{2}$eMATH

z$_{2}$=$\dfrac{1}{2}$eMATH

Les points recherchés sont donc les 2 points d'affixe respectives (MATH et (MATH