CORRIGE MATHEMATIQUES Centres étrangers
SECTION S - JUIN
2005
1)
Pour montrer que la droite
(AA
)
est orthogonale au plan (BCD), il suffit de montrer que
et
Calculons
tout d'abord
A
est centre de gravité du triangle BCD , donc :
Or
les triangles ACD, ABC et ABD sont rectangles en A, donc
On en déduit en devellopant que :
Or
ACD est un triangle isocèle de sommet A, donc
Donc :
On
démontre de la même façon que
en décomposant
en
Conclusion
: La droite
(AA
)
est donc orthogonale au plan (BCD).
2) Première façon pour calculer l'aire du tétraèdre ABCD :
On
a vu que
Donc la droite (AB) est orthogonale au plan (ACD).
Donc le volume du tétraède ABCD est égal à :
Deuxième façon pour calculer l'aire du tétraèdre ABCD :
On
a vu à la question 1 que la droite
(AA
)
était orthogonale au plan (BCD).
Donc
Or
le triangle BCD est équilatéral de coté
a
En
effet , c'est l'hypothénuse d'un triangle rectangle isocèle dont la
longueur du petit côté est a.( Pour le redémontrer, passer par
pythagore)
Donc l'aire de BCD s'écrit :
avec
hauteur
=
d'après pythagore
hauteur
=
d'où
d'où
Calcul
de
AA
En égalant les deux expressions précédentes de V on déduit que :
d'où
:
3)a) G est l'isobarycentre de ABCD, donc :
car
Donc
G appartient au segment
[AA
]
De plus en passant à la norme dans l'expression précédente, on a :
d'après la question 2.
b) On cherche l'ensemble des points M tels que :
Or G est l'isobarycentre de ABCD donc :
Or I milieu de [BC], donc :
+
=2
Cela revient donc à chercher les points M tels que :
soit MG=MI
L'ensemble cherché est donc le plan médiateur du segment [GI].
4) a) G est l'isobarycentre de ABCD, donc :
b)
Or
De
plus H est le symétrique de A par raaport à G donc
d'où
d'où
c) D'apres 3b)
Or les triangles ABC et ABD sont rectangles en A, donc :
et
Donc :
