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CORRIGE MATHEMATIQUES Amérique du Nord
SECTION S - JUIN 2005

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4


Exercice 2 :

1. Pour tout x $\in $ $\left[ 0;2\right] $, on a :

f(x) = $\dfrac{2x+1}{x+1}$


f'(x) = MATH

Donc f est strictement croissante sur [0,2].

On peut en déduire que si x $\in $ $\left[ 1;2\right] $ alors f(x) $\in $ MATH

Ici f(1) = $\dfrac{3}{2}$ > 1 et f(2) =$\dfrac{5}{3}$ < 2

Donc f(x) $\in $ $\left[ 1;2\right] $


2.a) D'après le graphique(faire le dessin), il semble que la suite u$_{n}$ soit croissante et la suite v$_{n}$ soit décroissante

et qu'elles soient toutes les deux convergentes vers la même limite.


b) Montrons, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 1 $\leq $ v$_{n}$ $\leq $ 2

Pour n=0 :

v$_{0}=2$ donc 1 $\leq $ v$_{0}$ $\leq $ 2

n $\rightarrow $ n+1

Supposons que 1 $\leq $ v$_{n}$ $\leq $ 2 alors d'après la question 1, 1 $\leq $ f(v$_{n}$) $\leq $ 2

Or f(v$_{n}$) = v$_{n+1}$

Donc 1 $\leq $ v$_{n+1}$ $\leq $ 2

Donc pour tout entier naturel n, 1 $\leq $ v$_{n}$ $\leq $ 2


Démontrons maintenant par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a v$_{n+1}\leq $ v$_{n}:$

Pour n=0 :

v$_{0}=2$ et vMATH donc v$_{1}\leq $ v$_{0}$

n $\rightarrow $ n+1

Supposons que v$_{n+1}\leq $ v$_{n}$, il faut alors montrer que v$_{n+2}\leq $ v$_{n+1}$

f étant croissante sur [1;2], on a f(v$_{n+1}$) $\leq $ f(v$_{n}$)

Donc v$_{n+2}\leq $ v$_{n+1}$

Conclusion : Pour tout entier naturel n, on a v$_{n+1}\leq $ v$_{n}$


c) MATH

MATH

MATH

 

Montrons maintenant par récurrence que pour tout entier naturel n, $v_{n}-u_{n}\geq 0$

Pour n=0

$v_{0}-u_{0}=1$ $\Longrightarrow OK$

n $\rightarrow $ n+1

Supposons que $v_{n}-u_{n}\geq 0$, alors d'après le calcul précédent, MATH car $u_{n}+1>0$ et $v_{n}+1>0$

Conclusion : Pour tout entier naturel n, $v_{n}-u_{n}\geq 0$

De plus $u_{n}\geq 1$ et $v_{n}\geq 1$, donc MATH

Donc MATH

En multipliant de chaque coté de l'inégalité par $v_{n}-u_{n}$ qui est positif on obtient :

MATH

Donc:

MATH


d) Montrons maintenant par récurrence sur n que pour tout entier naturel n, on a MATH

Pour n=0 :

MATH verifié

n $\rightarrow $ n+1

Supposons que $v_{n}-u_{n}$ MATH

On a alors d'aprés 2)d :

MATH

MATH d'après l'hypothèse de récurrence

MATH

Donc :

MATH $\QTR{bs}{-}$ MATH MATH


e) La suite $(\dfrac{1}{4})^{n}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4},$ donc comme toute suite géométrique , elle converge vers 0.

Or $0\leq $ MATH

En passant à la limite à gauche et à droite de l'inégalité , par encadrement on obtient :

MATH

Les suites $u_{n}$ et $v_{n}$ vérifient les propriétés suivantes :

- $u_{n}$ est croissante

- $v_{n}$ est décroissante

- MATH

 

MATH Les suites $u_{n}$ et $v_{n}$ sont adjacentes. Ainsi, elles convergent vers la même limite, que l'on note $\alpha $


Déterminons maintenant la valeur de $\alpha $:

MATH

On a pour tout entier naturel, $f(u_{n})=u_{n+1}$ (*)

Or f est continue sur $[1;2]$, donc $f(u_{n})$ converge vers $f(\alpha )$

De plus MATH car MATH


Donc en passant à la limite dans l'égalité (*), par unicité de la limite on a :

$f(\alpha )=\alpha $

MATH

MATH

Résolution de cette équation du second degré en $\alpha :$

$\Delta =1+4=5$

MATH

MATH

Or MATH

Donc MATH