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CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION S - Septembre 200
4


Exercice 4 :

1.Solution de l'équation MATH :

MATH

MATH

$\Delta =-64$

MATH

MATH

MATH $\QTR{bf}{4i}$

MATH




2.a) $a=4\sqrt{3}-4i$, donc $|a|$ MATH = 8. On peut donc écrire :

MATH

$b=4\sqrt{3}+4i$ est le conjuguée de a donc :

MATH




b) distance OA :

MATH

distance OB :

MATH

distance AB :

MATH

On constate que OA=OB=AB , donc le triangle OAB est un triangle équilatéral.




3. D est l'image de C par la rotation de centre O et d'angle -$\dfrac{\pi }{3}$ .Donc l'affixe de D s'écrit :

$z_{D}=z_{C}$ MATH

MATH

MATH

MATH

MATH




4.a) Le point G existe car la somme des coefficients est égale à 1, donc non nulle.

Par définition du barycentre, on a :

MATH

MATH

$z_{G}=z_{D}+z_{B}$

MATH

MATH




b) voir graphique




c) Calculons tout d'abord l'affixe du vecteur MATH :

MATH

Calculons maintenant l'affixe du vecteur MATH :

MATH

Les vecteurs MATH et MATH ont donc le même argument.

Les points C, D,G sont donc alignés.




d) Par définition du barycentre, on a :

MATH

MATH

MATH (d'après Chasles)

MATH

BGDO est donc un parallélogramme.




4. Calculons la distance GA :

MATH

De même la distance CA s'écrit :

MATH

Enfin la distance CG s'écrit :

MATH

On constate donc que GA=CA=CG.

Donc le triangle AGC est équilatéral.