∫Accueil

∫Présentation du site

∫Informations générales

∫Sujets et corrigés

∫Liens

∫Forum

 


Vous venez de détecter une erreur ? (Sur un corrigé, un lien), contactez-nous ! Nous remédirons au problème dès que possible.**** Vous avez une remarque à formuler ? N'hésitez pas à nous faire part de votre suggestion ! **** Vous êtes professeurs et vous souhaitez participer au projet Passetonbac ? Rentrez en contact avec nous. **** Vous êtes en fillière technologique ? ne vous inquiétez pas, tout l'équipe de Passetonbac vous proposera des la rentrée 2007 des sujets et corrigés dans les matières scientifiques ****

CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION S - Septembre 200
4


Exercice 2 :

1. x > 0 et y >0

$x^{y}=y^{x}$

MATH

$y\ln x=x\ln y$

MATH




2.a) Limite de h en + $\infty :$

On sait que MATH donc MATH

Limite de h en 0 :

On sait que MATH et MATH

donc MATH car x est strictement positif.




b) Calcul de la dérivée de h :

MATH

MATH

Le signe de h'(x) dépend donc du signe de $1-\ln x.$

Or $1-\ln x.>0$ lorsque $\ln x<1$ c'est à dire $x<e$

et $\ 1-\ln x.<0$ lorsque $\ln x>1$ c'est à dire $x>e$

d'ou le tableau de variation :




On a vu que la dérivée de h s'annulait pour x=e. Donc le maximum de h est atteint pour x = x$_{0}=e$ et h(x$_{0})=\dfrac{1}{e}$




c) Intersection de la courbe C avec l'axe des abcisses :

L'intersection de la courbe C avec l'axe des abcisses est le point d'ordonnée nulle soit h(x)=0 soit x=1




3. La fonction h est continue (car dérivable) strictement croissante sur $\left] 1;e\right[ $, h(1)=0 et h(e)=$\dfrac{1}{e}$, donc pour tout nombre $\lambda $ élément de l'intervalle MATH il existe un et un seul nombre a

de l'intervalle MATH tel que h(a)=$\QTR{bf}{\lambda }$

La fonction h est continue (car dérivable) strictement décroissante sur MATH, h(e)=$\dfrac{1}{e}$ et MATH, donc pour tout nombre $\lambda $ élément de l'intervalle MATH il existe un et un seul

nombre b de l'intervalle MATH tel que h(b)=MATH




4.a) Graphiquement, on lit : MATH




b) Graphiquement, on lit : MATH




c) Tableau de variation de s :

La fonction s est décroissante sur MATH




5) Le seul entier possible pour a sur $\left] 1;e\right[ $ est le nombre 2 est on sait que MATH donc b=4. Le seul couple d'entiers distincts solution de (E) est donc

le couple (2 ; 4)