CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION S - Septembre 2004
Exercice 2 :
1. x > 0 et y >0
2.a) Limite de h en +
On sait que donc
Limite de h en 0 :
On sait que et
donc car x est strictement positif.
b) Calcul de la dérivée de h :
Le signe de h'(x) dépend donc du signe de
Or lorsque c'est à dire
et lorsque c'est à dire
d'ou le tableau de variation :
On a vu que la dérivée de h s'annulait pour x=e. Donc le maximum de h est atteint pour x = x et h(x
c) Intersection de la courbe C avec l'axe des abcisses :
L'intersection de la courbe C avec l'axe des abcisses est le point d'ordonnée nulle soit h(x)=0 soit x=1
3. La fonction h est continue (car dérivable) strictement croissante sur , h(1)=0 et h(e)=, donc pour tout nombre élément de l'intervalle il existe un et un seul nombre a
de l'intervalle tel que h(a)=
La fonction h est continue (car dérivable) strictement décroissante sur , h(e)= et , donc pour tout nombre élément de l'intervalle il existe un et un seul
nombre b de l'intervalle tel que h(b)=
4.a) Graphiquement, on lit :
b) Graphiquement, on lit :
c) Tableau de variation de s :
La fonction s est décroissante sur
5) Le seul entier possible pour a sur est le nombre 2 est on sait que donc b=4. Le seul couple d'entiers distincts solution de (E) est donc
le couple (2 ; 4)