Exercice 1 :
Partie A :
1)
limite de f en
+
On
pose
f(x) devient :
e
Or
par croissance comparé
et
Donc
Or
lorsque
,
Donc
2) Pour étudier les variations de f, on calcule sa dérivée :
e
e
e
e
e
pour tout x >0
Le
signe de la dérivée dépend donc uniquement du signe de
x
D'où le tableau de variation de f :
____________________________________________
x 0
+
____________________________________________
____________________________________________
10
0
avec
e
3)
Sur
,
donc l'équation
n'a pas de solution.
Sur
l'intervalle
![$]\dfrac{3}{2};$](graphics/HVRIXQBM.png)
,
la fonction
est continue (car dérivable), monotone décroissante de
à
.
Il
existe donc un réel unique
tel
que
.
Grace
à la calculatrice, on trouve le résulat suivant
.
4) Courbe C :
5)
On fait une intégration par partie :
On pose :
;
e
;
d'où :
Partie B :
1)
f est solution de (E)
SSI 
et
On
a bien
De plus :
e
e
e
f
est donc solution de (E) sur
.
2)a)
Par définition on a pour tout
:
et
.
De
plus d'après la question précédente
D'où par différence de ces deux équations :
.
La
fonction
est
donc solution, sur l'intervalle
,
de l'équation différentielle :
(E
)
.
b)
(E
)
:
Les
solutions de l'équation
(E
)
sont les fonctions
avec A
c)
La fonction
est une solution de (E') (d'après la question 2a))
Donc
pour tout
on a :
Ae
d'après
2b))
Or
.
Donc
Donc
Conclusion
: l'équation différentielle (E) a une solution unique vérifiant
,
c'est la fonction
de
la partie A.
3)
D'après la question 3. de la partie A,
la température de la réaction chimique redescent à sa
valeur initiale ie
10
lorsque
.),
soit
h
min
4)
correspond à la valeur moyenne de f sur [0 ;
3![$]$](graphics/HVRIXRES.png)
donc :
d'après la question 5 partie A.
soit
17
si
on arrondie au degré.
