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Exercice 1 :

Partie A :

1) limite de f en +$\infty :$

On pose $X=\dfrac{x}{2}$

f(x) devient :

$f(X)=(40X+10)$eMATH

Or MATH par croissance comparé

et MATH

Donc MATH

Or lorsque MATH, MATH

Donc MATH




2) Pour étudier les variations de f, on calcule sa dérivée :

MATHeMATHe$^{-\frac{1}{2}x}$

MATHe$^{-\frac{1}{2}x}$

MATHe$^{-\frac{1}{2}x}$

e$^{-\frac{1}{2}x}>0$ pour tout x >0

Le signe de la dérivée dépend donc uniquement du signe de $(15-10x).$

$15-10x\geq 0$

x $\leq \dfrac{3}{2}$

D'où le tableau de variation de f :

____________________________________________

x 0$\ \ \ \dfrac{3}{2}$ + $\infty $

____________________________________________

MATH

____________________________________________

$f(x)\qquad $ 10MATH 0




avec $f(\dfrac{3}{2})=40$eMATH




3) Sur MATH, donc l'équation $f(x)=10$ n'a pas de solution.

Sur l'intervalle $]\dfrac{3}{2};$ $+\infty \lbrack $, la fonction $f$ est continue (car dérivable), monotone décroissante de MATH à $0$.

Il existe donc un réel unique MATH tel que $\QTR{bf}{f(x)}=10$.

Grace à la calculatrice, on trouve le résulat suivant MATH.




4) Courbe C :

MATH
graphics/HVRIXQC4.png




5) MATH

On fait une intégration par partie :

On pose :

$u(x)=20x+10$ ; $u^{\prime }(x)=20$

$v^{\prime }(x)=$e$^{-\tfrac{1}{2}x}$ ; MATH

d'où :

MATH

MATH

MATH

MATH




Partie B :

1) f est solution de (E) SSI MATH et $f(0)=10$

On a bien $f(0)=10$

De plus :

MATHeMATHeMATHe$^{-\frac{1}{2}t}$

f est donc solution de (E) sur MATH.




2)a) Par définition on a pour tout $t\geq 0$ :

MATH et $g(0)=10$.

De plus d'après la question précédente MATH

D'où par différence de ces deux équations :

MATH.

La fonction MATH est donc solution, sur l'intervalle MATH, de l'équation différentielle : (E$^{\prime }$) MATH.




b) (E$^{\prime }$) : MATH

Les solutions de l'équation (E$^{\prime }$) sont les fonctions MATH avec A MATH




c) La fonction $(g-f)$ est une solution de (E') (d'après la question 2a))

Donc pour tout $t\geq 0,$ on a :

$(g-f)(t)=$Ae$^{-\tfrac{t}{2}}($d'après 2b))

Or MATH.

Donc $(g-f)(t)=0$

Donc $g(t)=f(t)$

Conclusion : l'équation différentielle (E) a une solution unique vérifiant MATH, c'est la fonction $f$ de la partie A.




3) D'après la question 3. de la partie A, la température de la réaction chimique redescent à sa valeur initiale ie 10$\U{b0}$ lorsque MATH $(f(\alpha )=10$.),

soit MATHh$\QTR{bf}{~41}$min




4) $\theta $ correspond à la valeur moyenne de f sur [0 ; 3$]$ donc :

MATH

MATH

MATH d'après la question 5 partie A.

MATH soit 17$\U{b0}$ si on arrondie au degré.