1) méthode plus rapide que celle proposée dans l'énoncé :
e
Si
avec r
et
e
Egalité du module :
r
Egalité de l'argument :
3
avec
Il
y a donc trois solutions pour
,
et
car
e
i
e
i
.
Donc
les solutions de l'équation
sont
:
2)a) Figure
b)
B' est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle
,
donc :
.
c)
C' est l'image de C par la rotation de centre A et d'angle
,
donc :
i
i
.
Donc
et
sont
bien conjuguées.
3)a)
N est le milieu de [BB'] donc
.
Alignement de O, N, C :
On
constate que
Les
vecteurs
et
sont donc colinéaires.
Donc les points O, N et C sont alignés.
b)
Q est le milieu de [BB'], N est le milieu de
[CC
]
Or
géométriquement,les segments
[BB
]
et
[CC
]
sont symétriques autour de
(O
).
Donc leurs milieux respectifs Q et N le sont aussi.
donc
,
calculons
Etude du triangle MNQ :
M
étant le milieu de
![$\left[ CB\right] $](graphics/HVRGO94N.png)
on
a
Or
On remplace -1 par m dans l'équation précédente et on obtient :
Donc
N est l'image de Q dans la rotation de centre M et d'angle
Le triangle MNQ est donc un triangle rectangle isocèle.
c)
P étant le milieu de
on
a
Or
car C' est symétrique de B' par rapport à O.
Donc
L'affixe
du milieu de
![$\left[ MP\right] $](graphics/HVRGO957.png)
est
L'affixe
du milieu de
![$\left[ NQ\right] $](graphics/HVRGO95B.png)
est
![$\left[ MP\right] $](graphics/HVRGO95F.png)
et
![$\left[ NQ\right] $](graphics/HVRGO95H.png)
ont donc le même milieu. MNPQ est donc un parallélogramme.
De
plus
donc
MNPQ est un rectangle
Enfin on MQ=MN, MNPQ est donc un rectangle à deux côtés consécutifs égaux.
C'est un carré
Le quadrilatère MNPQ est donc un carré.
