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Partie A :

Soit M un point de l'espace équidistants de K et L

On a pour tout point M :

$MK=ML$

MATH

MATH

MATH

MATH car I milieu de MK + relation de chasles

MATH est orthogonal à MATH

MATH M appartient au plan médiateur de [KL]




Partie B :

1) Soit M un point de l'espace d'affixe (x ; y ; z)

Soit I le milieu de [AB].

Le point $M$ appartient au plan médiateur de [AB] si et seulement si MATH

Or I a pour coordonnée MATH

MATH a pour coordonée $(-2\,;\,2\,;\,5)$

Donc MATH

MATH

MATH.

Une équation cartésienne du plan médiateur de [AB] est donc : MATH.




2) Les coordonnées du point commun aux trois plans vérifient le système suivant :

MATH

On multiplie l'équation (1) par 3 et on l'ajoute à l'équation (3) multipliée par $-4$. Ainsi on obtient :

MATH

Le système devient alors :

MATH

MATH

MATH

MATH

Les trois plans médiateurs se coupent donc en un unique point E de coordonée (2 ; 0 ; MATH




3) D'après la partie A :

EA = EB puisque E appartient au plan médiateur de [AB] ;

EB = EC puisque E appartient au plan médiateur de [BC] ;

EC = ED puisque E appartient au plan médiateur de [CD] ;

Donc EA = EB = EC = ED.

Les points A, B, C et D appartiennent donc à une même sphère de centre E et de rayon R

avec MATH