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1$)$a) L'affixe de E' est :

MATH

Expression de $z_{E}^{\prime }$ sous forme algébrique :

On sait que MATH et MATH

Donc MATHiMATH




b) Soit M d'affixe z

M appartient au cercle $\QTR{cal}{C}_{1}$de centre O et de rayon 1 MATH

MATH $\exists $ MATH tel que : $z=$e$^{\text{i}\theta }$

L'affixe de son image M' par f est donc :

z'=MATHeMATHeMATH

Donc F(MATH

De plus lorsque M décrit $\QTR{cal}{C},$ $\theta $ décrit MATHdécrit MATH qui est inclus dans MATH

Donc M' décrit $\QTR{cal}{C}_{1}.$

Donc F(MATH




2)a) L'affixe de $K^{\prime }$ est :

MATH MATHeMATHeMATHeMATH




b) Soit M d'affixe z

M appartient au cercle $\QTR{cal}{C}_{2}$de centre O et de rayon 2 MATH

MATH $\exists $ MATH tel que : $z=2$e$^{\text{i}\theta }$

L'affixe de son image M' par F est donc :

z'=MATHeMATHeMATH

MATH

Donc M' appartient au cercle MATH de centre O et de rayon $\dfrac{1}{2}$

Donc F(MATH

On montre ensuite comme dans la question 1)a) que lorsque M décrit $\QTR{cal}{C}_{2},$ M' décrit MATH.

Donc F(MATH




3)a) On a MATH. (On supose que MATHdonc eMATHdonc $z\neq 0,$ donc MATH

On peut donc en déduire , en passant au module et en remplaçant z par$1+$e$^{\text{i}\theta }$, dans l'expression précédente que :

MATH.

Or MATH

Donc MATH

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH




b) $z^{\prime }+1$ est l'affixe du vecteur MATH

z' est l'affixe du vecteur MATH

D'après la question 3)a), on a MATH

Donc BR'=OR'

Le point R' appartient donc à la médiatrice du segment [OB]

Les images par F des points d'affixes $1+e^{i\theta }$ avec MATH appartiennent donc à la médiatrice du segment [OB].