CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION S - Juin 2001
1.
Pour tout n
:
![$\ [2\pi ]$](graphics/J9B4RIH1.png)
![$[2\pi ]$](graphics/J9B4RIH5.png)
![$[2\pi ]$](graphics/J9B4RIH9.png)
![$[2\pi ]$](graphics/J9B4RIHD.png)
On
peut en déduire que puisque
(M et N appartiennent au même cercle de centre O )
est
l'image de
par la rotation de centre O et d'angle
.
Ce calcul préliminaire nous permet de placer les 12 points sur le graphique ci dessous (voir fichier autre logiciel) :
2.
M
d'affixe
z
appartient au cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l'angle
Donc
z
s'écrit :
Le
cercle C a un rayon de
1 
De
plus
Donc
est suite arithmétique de raison
On
peut donc écrire
de la façon suivante :
d'où :
3.
M
a pour abcisse :
z
Les
points
M
et
M
sont
donc diametralement opposés .
M
a pour abcisse :
Les
points
M
et
M
sont
donc cofondus .
b)Pour
tout
n
,
on a :
Calculons
maintenant la distance
M
M
:
Or
car
M
appartient au cercle trigonométrique .
D'où :
La
distance
M
M
vaut
donc
.
Montrons
maintenant que le triangle
M
M
M
est un triangle équilatéral :
Le
centre du cercle circonscrit au triangle
M
M
M
est O et la rotation d'angle
transforme
M
en
M
et
M
en
M
car
et
On
peut en déduire que le triangle
M
M
M
est
équilatéral.
4.On
tire simultanémént 3 cartons de l'urne qui en contient 12. Il y a
donc
C
=
220 tirages successifs
On
admet que tous les triangles équilatéraux sont de la forme
M
M
M
Il y a donc 4 cas possibles pour obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.
Ils
correspondent aux triangles
M
M
M
,
M
M
M
,
M
M
M
,
M
M
M
,M
M
M
La
probalité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral
est donc de
soit
.
