CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION S - Juin 2001
1.
Le point
G
est
le barycentre du système {(A,2),(B,1),(C,-1))
Donc
G
vérifie
la relation suivante :
Ainsi pour tout point M du plan, on a :
(introduire M dans la relation précendente + relation de Chasle)
Dans le cas particulier où M et A sont confondus, on a :
De
même le point
G
est le barycentre du système {(A,2),(B,-1),(C,1))
En reproduisant le même raisonnement, on trouve que :
Representation graphique : (voir fichier autre logiciel)
2.a)
G
barycentre du système
{(A,k
+1),(B,k),(C,-k))
avec k
[-1;1]
Par définition du barycentre on a :
(
b)
Pour tout x
![$\in \lbrack -1;1]$](graphics/ex1mathSjuin2001france__20.png)
:
Le
signe de f'(x) dépend du signe de
Or
x
[-1;1], donc
Donc
f'(x)
0 pour tout x
[-1;1],
Tableau de variation de f :
____________________________________________
x -11
____________________________________________
0-0
____________________________________________
-
c)
On a
D'aprés
la question précédente, f réalise une bijection de [-1;1] sur
[-
].
Par
conséquent lorsque k décrit [-1;1],
décrit
[-
]
Or on a vu à la quetion 1 que :
et
On
en déduit que l'ensemble des points
G
lorsque
k décrit [-1;1], est le segment
[G
;G
]
.
3. On cherche l'ensemble E des points M du plan tels que
(*)
Or on a vu à la question 1 que :
et
La relation (*) devient :
\Vert
2\overrightarrowMG1\Vert
L'
ensemble (E) cherché est donc l'ensemble des points equidistants de
G
et
G
L'
ensemble (E) est donc le plan médiateur de
[G
G
]
4. On cherche l'ensemble F des points M du plan tels que :
On a toujours :
De plus :
Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme
On
a
et
car I est le milieu du segment [BC]
d'ou :
L'ensemble
F des points M du plan est donc la sphere de centre
G
et
de rayon AI.
5.a)
Soit
G
On a monté à la question 1 que :
Ainsi:
Les
coordonnées de
G
sont
donc (0,0,0).
De
la même façon , soit
G
On a monté à la question 1 que :
Ainsi:
Les
coordonnées de
G
sont
donc (0,0,4).
Montrons maintenant que les ensembles (E) et F sont sécants.
Calculons tout d'abord les coordonnées du point I:
Ainsi :
De
plus A est le milieu de
[G
G
]
et
AG
=2
On
constate que
Donc
le rayon de la sphère (F) de centre
G
c'est à dire AI est supérieure à la distance de
G
au plan (E) c'est à dire
AG
Par conséquent les ensembles (E) et (F) sont sécants.
b) Soit C le cercle d'intersection de (E) et (F) et soit H un point quelconque de C.
Le
triangle
HAG
est
rectangle en A et
HG
=
et
AG
=2
D'aprés Pythagore on a :
Le
cercle C a donc un rayon égal à
.
