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CORRIGE de Mathématiques
France Métropolitaine - Section S - Juin 2005

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4


Partie A :

Question de cours : 2 suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite

Soit u$_{n}$ une suite croissante et v$_{n}$ une suite décroissante

u$_{n}$ et v$_{n}$ sont adjacentes → Pour tout n entier naturel on a u$_{n}$ ≤ v$_{n}$

Or v$_{n}$ etant décroissante, il existe v$_{0}$ tel que :

u$_{n}$ ≤v$_{n}$ ≤v$_{0}$

Donc u$_{n}$ est croissante majoré par v$_{0}$, donc elle converge

Appelons l sa limite

De même u$_{n}$ étant croissante, il existe u$_{0}$ tel que :

v$_{n}$ ≥u$_{n}$ ≥u$_{0}$

Donc v$_{n}$ est décroissante minorée par v$_{0}$, donc elle converge



Appelons l' sa limite

Montrons maintenant que u$_{n}$ et v$_{n}$ converge vers la même limite , autrement dit que l=l'

u$_{n}$et v$_{n}$ sont adjacentes → d'apres la définition de suites adjacentes (u$_{n}$ - v$_{n}$)→ 0

Donc l-l'=0

Donc l=l'

u$_{n}$ et v$_{n}$ converge vers la même limite.


Partie B :

MATH

1. "Si u$_{n}$ est convergente alors v$_{n}$ est convergente" : FAUX

Contre exemple :

MATH

u$_{n}$ ≠ 0 , u$_{n}$ converge vers 0

$v_{n}=-2(n+2)$

donc v$_{n}$ diverge en -∞


2. "Si u$_{n}$est minoré par 2, alors v$_{n}$est minoré par -1" : VRAI

Démonstration:

$u_{n}\geq 2$

MATH

MATH (le moins change les inégalités)

$v_{n}\geq -1$


3. "Si u$_{n}$ est décroissante alors v$_{n}$ est croissante " : FAUX

Contre exemple :

MATH

MATH

On remarque que u$_{n+1}$ - u$_{n}$ ≤ 0, donc u$_{n}$ est décroissante

Or

MATH

$v_{n}=-2n-4$

v$_{n}$est clairement décroissante (v$_{n+1}$ - v$_{n}$ ≤ 0), la proposition 3 est donc fausse.


4. "Si u$_{n}$ est divergente alors v$_{n}$ converge vers 0 " : FAUX

Contre exemple :

$u_{n}=(-1)^{n}$

v$_{n}$ vaut alors :

MATH

Ici u$_{n}$ est divergente et v$_{n}$ aussi, donc la proposition 4 est fausse .