CORRIGE de Mathématiques-Informatique
France Métropolitaine - Section S - Juin 2006
1) Variation de g :
La
fonction
est dérivable car elle est la somme de fonctions dérivables.
et
car
Donc
g est strictement croissante sur
Limites de g :
et
donc
et
donc
Justification
de l'existence de
x
La
fonction
est continue sur
car dérivable
De
plus elle est croissante sur
et la calculatrice donne
et
.
Donc
d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il
existe
x
tel que
g(x
2)a) On a par définition :
Or
g(x
D'où
Donc
f.
b)
Soit a un réel tel que
d
d
On fait une intégration par parties. On pose :
d
.
2d
d
3)
est le point d'intersection entre la courbe représentative de g et l'axe
des abcisses d'équation y=0.
Donc
g(x
Donc
d'après la question 1,
x
De
plus par sa définition,
M
a pour coordonnées
(
d'après 2a).
a pour coordonnées
:
d
(d'après la question 2)b) avec
Or
D'où
De
plus
.représente
l'aire du rectangle de largueur 1 et de longueur
Donc
Donc
Les
domaines
et
ont donc même aire.
Cherchons maintenant un encadrement de cette aire.
D'après la question 1) on a :
car la fonction x
est croissante pour x
Finalement, on a donc :
à
près.