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CORRIGE MATHEMATIQUES FRANCE METROPOLITAINE
SECTION ES - JUIN 2006

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Partie A :

1.

MATH

Calcul de la dérivée de f :

MATH


2. $e^{x-3}>0$ et MATH pour tout x MATH

Donc f'(x) > 0 pour tout x MATH

Donc f est strictement croissante sur $[0,\infty ]$.


3. limite de f en $\infty $ :

MATH $\infty $ car MATH $\infty $ et MATH $\infty $

de plus :

MATH $0$

donc :

MATH $\QTR{bf}{\infty }$


4.a) Tableau de variation de f :

____________________________________________

x 0+ $\infty $

____________________________________________

MATH +

____________________________________________

$f(x)\qquad $ MATH+ $\infty $


avec MATH



b) Il existe $\alpha >0$ tel que $f(\alpha )=0$

Sur l'intervalle [ 0;+∞ [ la fonction f est strictement croissante donc

Si x < MATH MATH

Si x > MATH MATH MATH


5)a)

MATH

MATH

MATH


b)Sur l'intervalle [ 0;+∞ [ , la fonction f est dérivable et strictement croissante et $f(1.325)<0$ et $f(1.33)>0$

Donc d'aprés le théorème des valeurs intermédiaires il existe un $\alpha >0$ tel que $f(\alpha )=0$

et $\ \ 1.325$ $<\alpha <1.33$

Donc l'arrondi au centième de $\alpha $ est 1.33


Partie B :

1)a)

MATH

Calcul de la dérivée de g :

MATH

$g^{\prime }(x)=$ $f(x)$

On remarque que MATH $\QTR{bs}{f(x)}$


b)

$g^{\prime }(x)=$ $f(x)$

Donc le signe de g'(x) dépend du signe de f . Or d'après la question 4 à la partie A:

$f(x)<0$ pour x < $\alpha $

$f(x)>0$ pour x > $\alpha $

Donc :

$g^{\prime }(x)<0$ pour x < $\alpha $

$g^{\prime }(x)>0$ pour x > $\alpha $

Donc :

g est décroissante pour x < $\alpha $

g est croissante pour x < $\alpha $


2) Calcul de I :

MATH

MATH d'après question 1)a)

$I=g(3)-g(0)$

MATH

MATH