CORRIGE de Mathématiques
France Métropolitaine - Section S - Juin
2005
1.
I milieu de [OA] a pour affixe
z
=
.Or
C est le cercle de centre I et de rayon
=
Donc d'après la définition du cercle on a pour tout point M appartenant au cercle d'affixe m :
2.
La rotation de centre O et d'angle
transforme le point M en L
Rappel
: Un rotation de centre O d'affixe
z
et d'angle θ qui transforme un point d' affixe z en un point d' affixe Z
a pour expression complexe :
Ici la rotation transforme M d'affixe m en L d'affixe l et O a pour affixe 0 donc :
De
même la rotation de centre A et d' angle
-
transforme le point M en P donc :
3.a) Le milieu de [PQ] Ω a pour affixe :
En remplaçant p et l par les expressions trouvées à la question 2, on obtient :
Ω est donc bien indépendant du point M.
b)
Ω
appartient donc bien au cercle C. De plus le point Ω ayant pour affixe
,
c'est le point d'ordonnée positive situé au milieu de l'arc
OA.
4.a)[OA] est un diamètre du cercle C, donc le triangle OAM est rectangle en M . Ainsi on peut en déduire que MKN est aussi rectangle en M.
En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle MKN puis dans le triangle OAM on a :
et
OMKL et AMNP étant des carrés on a MK=MO et MN=MA .
Donc KN=1
b) Calculons tout d'abord l'affixe z du vecteur ΩN :
Or
d'après 2)
,
donc :
De
même l'affixe
z
du vecteur ΩK est :
En remplaçant k par son expression trouvée en 2, on obtient :
On remarque que :
Or
z ≠ 0 car 1-i ≠ 0 et m -
≠ 0 car le module de m -
est différent de 0 car M appartient au cercle C. On peut donc calculer le
quotient de
z
sur z.
égalité
des modules :
soit
égalité
des arguments :
avec k entier naturel
Conclusion : Le triangle ΩKN est rectangle isocèle en Ω.
5. ΩKN est rectangle en Ω . Donc N appartient au cercle de centre Ω et de rayon ΩN
De plus ΩKN est isocèle en Ω. Donc :
d'où :
Le
point N appartient donc au cercle de centre Ω et de rayon
.
De plus ce cercle est un cercle fixe car indépendant de M.
