CORRIGE MATHEMATIQUES Amérique du Nord
SECTION S - JUIN
2005
Exercice 2 :
1.
Pour tout x
,
on a :
f(x)
=
f'(x)
=
Donc f est strictement croissante sur [0,2].
On
peut en déduire que si x
alors f(x)
Ici
f(1) =
> 1 et f(2)
=
< 2
Donc
f(x)
2.a)
D'après le graphique(faire le dessin), il semble que la suite
u soit
croissante et la suite
v
soit
décroissante
et qu'elles soient toutes les deux convergentes vers la même limite.
b)
Montrons, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 1
v
2
Pour n=0 :
v
donc 1
v
2
n
n+1
Supposons
que 1
v
2 alors d'après la question 1, 1
f(v
)
2
Or
f(v)
=
v
Donc
1
v
2
Donc
pour tout entier naturel n, 1
v
2
Démontrons
maintenant par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a
v
v
Pour n=0 :
v
et
v
donc
v
v
n
n+1
Supposons
que
v
v
,
il faut alors montrer que
v
v
f
étant croissante sur [1;2], on a
f(v)
f(v
)
Donc
v
v
Conclusion
: Pour tout entier naturel n, on a
v v
c)
Montrons
maintenant par récurrence que pour tout entier naturel n,
Pour n=0
n
n+1
Supposons
que
,
alors d'après le calcul précédent,
car
et
Conclusion
: Pour tout entier naturel n,
De
plus
et
,
donc
Donc
En
multipliant de chaque coté de l'inégalité par
qui est positif on obtient :
Donc:
d)
Montrons maintenant par récurrence sur n que pour tout entier naturel
n, on a
Pour n=0 :
verifié
n
n+1
Supposons
que
On a alors d'aprés 2)d :
d'après l'hypothèse de récurrence
Donc :
e)
La suite
est une suite géométrique de raison
donc comme toute suite géométrique , elle converge vers 0.
Or
En passant à la limite à gauche et à droite de l'inégalité , par encadrement on obtient :
Les
suites
et
vérifient les propriétés suivantes :
-
est croissante
-
est décroissante
-
Les
suites
et
sont
adjacentes. Ainsi, elles convergent vers la même limite, que l'on note
Déterminons
maintenant la valeur de
:
On
a pour tout entier naturel,
(*)
Or
f est continue sur
,
donc
converge vers
De
plus
car
Donc en passant à la limite dans l'égalité (*), par unicité de la limite on a :
Résolution
de cette équation du second degré en
Or
Donc